Lösung Beispiel 7, Helmut Hörner, Mat.Nr. 08850092

Zusammenhang x1, x2, x3, ϑ und y1, y2, y3, ϑ

x2[t_]:=x1[t]  + l1 Cos[ϑ[t]];
y2[t_] := y1[t] + l1 Sin[ϑ[t]]; 
x3[t_]:=x1[t]  + (l1+l2) Cos[ϑ[t]];
y3[t_]:= y1[t] + (l1+l2) Sin[ϑ[t]];

Definition Schwerpunkt

xs[t_] = ((m1 x1[t]+m2 x2[t] + m3 x3[t])/(m1+m2+m3));
ys[t_] = ((m1 y1[t]+m2 y2[t] + m3 y3[t])/(m1+m2+m3));

Konkrete Werte

werte = {m1->5, m2->3, m3->8, l1-> 0.25, l2-> 0.75};

a) (i) Lage des Schwerpunkts zur Zeit t=0, allgemein

{xs[0],ys[0]} // FullSimplify

a) (ii) Lage des Schwerpunkts zur Zeit t=0, für x1[0]=1,y1[0]=1,ϑ[0]=π/4

{xs[0],ys[0]} /. {x1[0]->1, y1[0]->1, ϑ[0]->(π/4)} /. werte// FullSimplify

b) Aufstellen der Euler Lagrange Funktion und DGL
- Berechne kinetische und potentielle Energie

T=(1/2)m1 (((x1'[t])^2)+((y1'[t])^2))+(1/2)m2 (((x2'[t])^2)+((y2'[t])^2))+(1/2)m3( ((x3'[t])^2)+((y3'[t])^2));
U=m1 g y1[t] + m2 g y2[t] + m3 g y3[t];

- Euler Lagrange Funktion

L = T-U // FullSimplify

- Definiere Anfangsbedingungen

ab={x1[0]== 1, x1'[0]==2.5, y1[0]==1, y1'[0]==-0.5, ϑ[0]==(π/4), ϑ'[0]==2.3};

- Differentialgleichungen

DGL1=D[D[L,x1'[t]],t]-D[L,x1[t]]==0 // FullSimplify
DGL2=D[D[L,y1'[t]],t]-D[L,y1[t]]==0 // FullSimplify
DGL3=D[D[L,ϑ'[t]],t]-D[L,ϑ[t]]==0 // FullSimplify

- Lösung der DGL (Werte eingesetzt, aber g noch allgemein)

solution=Flatten[Quiet[DSolve[{DGL1, DGL2, DGL3,ab}/.werte,{x1[t],y1[t],ϑ[t]},t]]]

- Bahn von x1, y1 und Schwerpunkt, ohne Schwerkraft

Show[
ParametricPlot[{{x1[t],y1[t]}/.solution /.werte /. g->0 }, {t,0,9}, PlotLegends->{"x1/y1","Schwerpunkt"}],
ParametricPlot[{xs[t],ys[t]} /.solution /.werte /. g->0, {t,0,9},PlotStyle->RGBColor[250,0,0], PlotLegends->{"Schwerpunkt"}]
]

- Bahn des Schwerpunkts bei g=0 ist eine Gerade:

{xs[t],ys[t]}  /. solution /. werte /. g->0// FullSimplify

- Bahn von x1, y1 und Schwerpunkt mit Schwerkraft (g=1)

Show[
ParametricPlot[{{x1[t],y1[t]}/.solution /.werte /. g->1}, {t,0,5}, PlotLegends->{"x1/y1","Schwerpunkt"}],
ParametricPlot[{xs[t],ys[t]} /.solution /.werte /. g->1, {t,0,5},PlotStyle->RGBColor[250,0,0], PlotLegends->{"Schwerpunkt"}]
]

- Animation der 3 Massenpunkte und des Schwerpunkts bei g=1

Animate[
Graphics[
{Disk[{x1[t] /.solution /.werte /. g->1/. t->tt,y1[t] /.solution /.werte /. g->1/. t->tt},0.25],
Disk[{x2[t] /.solution /.werte /. g->1/. t->tt,y2[t] /.solution /.werte /. g->1/. t->tt},0.25],
Disk[{x3[t] /.solution /.werte /. g->1/. t->tt,y3[t] /.solution /.werte /. g->1/. t->tt},0.25],
Red,Disk[{xs[t] /.solution /.werte /. g->1/. t->tt,ys[t] /.solution /.werte /. g->1/. t->tt},0.25]},
PlotRange->{{0,13},{-12,2}}],
{tt,0,7},AnimationRate->3,AnimationRunning->False]

d) Ermittle Anfangsbedingungen, so dass Schwerpunkt ruht

- Geschwindigkeit des Schwerpunkts

vxs[t_]=FullSimplify[D[xs[t],t] ]
vys[t_]=FullSimplify[D[ys[t],t]]

- Ermittle AB, so dass Geschwindigkeit des SP  bei t=0 Null ist (ϑ[0] und ϑ’[0] unverändert)

ab2=Flatten[Solve[{vxs[0]==0,vys[0]==0},{ x1'[0], y1'[0]}]] /.werte /.ϑ[0]-> (π/4) /.ϑ'[0]-> 2.3  // FullSimplify

- Alle anderen Anfangsbed. unverändert

ab0 = {x1'[0]==ab2[[1,2]], y1'[0]==ab2[[2,2]], x1[0]== 1, y1[0]==1, ϑ[0]==(π/4), ϑ'[0]==2.3}

- Lösung der DGL, so dass Schwerpunkt ruhend

solution0=Flatten[Quiet[DSolve[{DGL1, DGL2, DGL3,ab0}/.werte,{x1[t],y1[t],ϑ[t]},t]]]
ParametricPlot[{{x1[t],y1[t]}/.solution0 /.werte /. g->0}, {t,0,5}, PlotLegends->{"x1/y1","Schwerpunkt"}]

- Animation mit ruhendem Schwerpunkt bei g=0

Animate[
Graphics[
{Disk[{x1[t] /.solution0 /.werte /. g->0/. t->tt,y1[t] /.solution0/.werte /. g->0/. t->tt},0.25],
Disk[{x2[t] /.solution0 /.werte /. g->0/. t->tt,y2[t] /.solution0 /.werte /. g->0/. t->tt},0.25],
Disk[{x3[t] /.solution0 /.werte /. g->0/. t->tt,y3[t] /.solution0 /.werte /. g->0/. t->tt},0.25],
Red,Disk[{xs[t] /.solution0 /.werte /. g->0/. t->tt,ys[t] /.solution0 /.werte /. g->0/. t->tt},0.25]},
PlotRange->{{-2,4},{-2,4}}],
{tt,0,8},AnimationRate->3,AnimationRunning->False]